Die Stammfunktion F einer stetigen Funktion f : [a,b] -> IR ist differenzierbar. Somit gibt es nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechung ein u aus dem offenen Intervall ]a,b[ mit

F(b) - F(a) = f(u) (b - a).

Demnach besagt die obige Gleichung für eine positive Funktion f, daß die Fläche unter der Kurve für ein geeignetes u aus ]a,b[ gleich dem Inhalt des Rechteckes mit den Seiten b-a und f(u) ist.

Daher kann man f(u) in einem gewissen Sinne als einen Mittelwert der Funktion f betrachten.

4. MITTELWERTSATZ DER INTEGRALRECHNUNG

In diesem Abschnitt wollen wir nun den im Schaubild dargestellten Sachverhalt etwas vertiefen und verzichten darüber hinaus, die Stetigkeit von f : [a,b] -> IR voraus zu setzen. So betrachten wir zunächst einmal eine beliebige Funktion auf [a,b] und wählen dazu eine äquidistante Zerlegung Z des Intervalls mit der Feinheit 1/n. Bilden wir sodann das arithmetische Mittel über die n Funktionswerte der Zerlegungspunkte (außer dem Anfangspunkt a), so können wir - wenn die Funktionswerte nicht "zu großen" Schwankungen unterliegen -  die Riemannsche Summe S(f,Z,x)/(b-a) als "mittleren Wert" der Funktion f betrachten.

Im Falle der Riemann-Integrierbarkeit von f können wir nun das noch bestehende Problem der willkürlichen Wahl der Zerlegung von [a,b] sowie die mögliche Schwankung von f dadurch umgehen, daß wir zum Riemann-Integral übergehen und somit in der Tat über einen Mittelwert verfügen. Der dargestellte Sachverhalt ist in der Mathematik unter MITTELWERTSATZ DER INTEGRALRECHNUNG bekannt.